Резюме: Тепловые расчеты подземных сооружений, в том числе магистральных трубопроводов, необходимы для обоснования проектных решений, в особенности в случае сложных условий прокладки. От правильности расчетов зависит, в частности, надежность функционирования трубопроводов. Имеется и иной аспект, связанный с внедрением систем обнаружения утечек (СОУ), основанных на использовании оптического кабеля в качестве чувствительного элемента, обнаруживающего утечку по температурному признаку, что приобретает особую актуальность в свете применяемой на трубопроводах ОАО «АК «Транснефть» Системы обнаружения утечек и контроля активности (СОУиКА) «Омега». Для определения оптимальной схемы размещения оптического кабеля необходимо иметь представление о тепловом поле вблизи тела трубы.

Ключевые слова: расчеты теплопроводности, метеостанции, температуропроводность, типы грунтов.

Тепловые расчеты предполагают знание такой характеристики грунта, как температуропроводность, которая характеризует скорость изменения температуры грунта в нестационарных тепловых процессах, т.е. его теплоинерционные свойства, связанные, как с теплопроводностью, так и с изменением в переходном процессе количества аккумулированного в грунте тепла. Температуропроводность определяется как частное от деления теплопроводности на теплоемкость и на плотность грунта. Если вычислять температуропроводность в соответствии с этим определением, то необходимо знать три указанных характеристики. Поскольку типы грунтов изменяются как по длине трубопровода, так и по глубине все определяющие температуропроводность параметры зависят от влажности, которая изменяется сезонно в широких пределах, реализация такого способа требует проведения очень большого объема натурных исследований этих параметров в течение длительного времени вдоль всей трассы трубопровода [1]. Поэтому была сделана попытка, используя измерения температуры грунтов на разных глубинах, на основе математической модели нестационарной теплопередачи определить эмпирические значения температуропроводности и оценить, с какой погрешностью можно, используя найденные значения эмпирической температуропроводности, воспроизвести ход изменения температур. Поэтому была сделана попытка определить температуропроводность на основе математической модели нестационарной теплопередачи и имеющихся измерений температуры грунтов на разных глубинах. Определяемую таким образом эффективную теплопроводность (называемую в дальнейшем эмпирической) предполагается использовать для воспроизведения динамики изменения температур с оценкой, допускаемой при этом погрешности. Исследование выполнено на основе многолетних измерений метеорологическими станциями РОСГИДРОМЕТа среднемесячных температур грунта на различных глубинах. Такой подход позволяет учитывать все изменчивые факторы (например, влажность грунтов, высота снегового покрова и др.) по факту, не задаваясь какими-либо зависимостями.

Изменение температур грунта на разных глубинах хорошо аппроксимируются гармоническими функциями вида

(1)

где

- средняя годовая температура грунта на заданной глубине,
- амплитуда изменения температуры грунта на заданной глубине в течение года,
- день года (от 1 до 365), для которого определяется температура,
- смещение максимума температуры от начала года для глубины , суток,
- угловая частота годовых колебаний температуры, сутки-1.

Параметры , и , вообще говоря, различны для разных глубин.

Однако в соответствии с законами Фурье периодические изменения температур грунта на разных глубинах, являются следствием распространения в грунте температурных волн, вызванных колебаниями температуры на поверхности. При этом параметры функции (1) для разных глубин связаны между собой законами Фурье [2]:

(2)

(3)

(4)

где

- амплитуда и смещение максимума температуры грунта на глубине ,
- коэффициент температуропроводности грунта, м2/сутки или мм2/с, предполагается, что грунт однороден, т.е. его температуропроводность на всех исследуемых глубинах одна и та же.

Кроме того, среднегодовые температуры грунта для всех глубин равны одному и тому же значению Тср.

Соотношения (1)÷(4) представляют собой математическую модель нестационарной теплопередачи, когда граничное условие на глубине задано в виде (1)

Сложность аппроксимации зависимости температуры от времени состоит в том, что температуры грунта по наблюдениям метеостанций доступны в виде их среднемесячных значений. Однако дни, в которые фактически наблюдаются температуры, равные среднемесячным значениям, неизвестны.

Расчетное значение средней температуры за месяц i на глубине hj с учетом (1)-(4) определяется выражением



где - последний день месяца по сквозной нумерации в течение года .
Или, обозначив значение интеграла в (5) через , получим



Задача наилучшей аппроксимации зависимостей температуры однородного грунта от времени и глубины заключается в определении таких значений параметров модели (1)÷(4), при которых для всех глубин и для всех месяцев сумма квадратов разностей расчетных и наблюдаемых (на метеостанции) значений среднемесячных температур принимает наименьшее значение. Иными словами необходимо минимизировать функционал

(6)

где - наблюдаемая среднемесячная температура в течение месяца i на глубине hj.

Параметры входят в выражение линейно, в то время как параметры - нелинейно. Поэтому минимизация функционала (6) выполняется следующим образом. Для заданных значений минимизация (6) методом наименьших квадратов приводит к линейной относительно системе уравнений, из которой определяются эти параметры. Диапазоны возможных значений , заменяются конечным числом значений этих параметров, равномерно распределенных в этих диапазонах, и для каждой пары значений определяются . Из всех проанализированных вариантов выбирается тот, при котором (6) принимает наименьшее значение. Довольно узкий диапазон возможных значений легко определяется по аппроксимации среднемесячных температур на уровне функцией (1). По найденному в результате решения задачи параметру b из (4) определяется значение эмпирической температуропроводности грунта .

В соотве6тствии с описанной методикой были рассчитаны эмпирические значения эмпирической температуропроводности по данным о среднемесячных температурах грунта на разных глубинах от 0,2 до 3,2 м на 15 метеостанциях, расположенных вдоль трассы строящегося нефтепровода Восточная Сибирь - Тихий океан (таблица). Весь массив обрабатываемых измерений включает 1116 значений среднемесячных температур (средних за период с1972 по 2003 г) на разных глубинах в диапазоне от минус 13 до 22°С.

Для первого слоя грунта от его поверхности (h = 0) до глубины первого измерения температур (h0 = 0, 2 м) законы Фурье неприменимы, поскольку они получены, исходя из того, что граничное условие на поверхности грунта (h = 0) задается в виде гармонической функции (1). Правильный подход заключается в том, что температура поверхности грунта должна определяться, исходя из баланса тепловых потоков. Кроме тепловых потоков за счет теплопроводности (от или к ниже лежащим слоям грунта) и за счет конвекции (от окружающего воздуха или к воздуху) необходимо учитывать тепловые потоки за счет излучения: приток тепла за счет солнечной радиации и отток тепла за счет теплового излучения грунта в соответствии с законом Стефана-Больцмана. Следовательно, на поверхности грунта имеется источник или сток тепла в зависимости от соотношения мощности солнечной радиации и теплового излучения. Этот вывод подтверждается характером изменений температур (рисунок). На рисунке показаны эмпирические и сглаженные («экпер» и «аппрокс») значения среднемесячных температур воздуха, поверхности грунта и грунта на глубине 0,2 м. На протяжении значительных периодов значение температуры поверхности грунта не находится между температурой воздуха и температурой на глубине 0,2 м. Следовательно, на поверхности грунта имеется сток или источник тепла.

Выполненные расчеты (таблица) по всем уровням измерения температуры от h0 до hmax, показали, что эмпирическая температуропроводность грунтов в районе указанных метеостанций меняется в широких пределах (0,229÷0,736 мм2/с). При этом среднеквадратическое отклонение (СКО) расчетных значений среднемесячных температур по формуле (5) от измеренных значений составляет 0,55÷1,32 °С.

Полученные значения эмпирической температуропроводности соответствуют, например, температуропроводности суглинков при изменении влажности в диапазоне 0,05÷0,4 мм2/с.

По существу данное отклонение характеризует совместное влияние неадекватности (неоднородность грунта, отклонение закона изменения температуры на глубине 0,2 м от гармонической функции) примененной модели Фурье и ошибки измерения температур на результаты вычислений.

Таблица
Результаты расчета коэффициентов температуропроводности



В то же время анализ результатов показал, что можно повысить точность аппроксимации, дополнив выражение (1) второй гармоникой с частотой , соответствующей полугодовому периоду колебаний, и с амплитудой :

(7)

где

(8)

(9)

Тогда в круглых скобках функционала (6) добавляется еще одно слагаемое, соответствующее выражению (7) и содержащее еще одну подлежащую определению переменную А1. Использование этого приема привело к уменьшению среднеквадратической погрешности расчетных значений среднемесячных температур до 0,446÷0,968 °С. Эмпирическая температуропроводность грунтов в этом случае изменяется в пределах 0,229÷0,760 мм2/с. Еще одним ресурсом повышения качества аппроксимации является отказ от предположения об однородности грунта. Однако это существенно усложнит вычисления.


Рисунок

Смысл полученных результатов заключается в том, что если выполнять тепловые расчеты температур грунта на разных глубинах, используя в качестве коэффициента температуропроводности найденные значения эмпирической температуропроводности, то среднемесячные температуры грунта на разных глубинах будут определены со среднеквадратической погрешностью не превышающей 1 °С.

По найденным значениям эмпирической температуропроводности из первого закона Фурье (2) можно оценить глубину нулевых колебаний температуры грунта, исходя из того, что температуропроводность не изменяется на глубинах, больших, чем максимальная глубина измерений. Для районов рассмотренных метеостанций расчетная глубина нулевых колебаний изменяется в диапазоне 8÷14 м.

Следует отметить, что определение коэффициентов температуропроводности не исчерпывает всех трудностей тепловых расчетов температуры грунтов. Для адекватной формулировки граничного условия на поверхности необходимо с достаточной точностью знать теплопроводность верхнего слоя (от поверхности до глубины 0,2 м) с учетом сезонного изменения влажности. Кроме того, необходимо разработать методику интерполяции значений температуропроводности, полученных для двух метеостанций, на участок трассы между этими станциями. При этом должны учитываться изменение вдоль участка географических, климатологических и геологических условий.

Выводы

• 1 Опыт обработки данных по 15 станциям подтвердил, что эмпирические значения температуропроводности грунтов на глубине от 0,2 м и ниже в рассмотренном географическом районе можно определять по данным измерений температур на разных глубинах, исходя из законов Фурье для однородного грунта.
• 2 Погрешность расчета среднемесячных температур грунта с использованием полученных таким образом коэффициентов температуропроводности не превышает 1 °С.
• 3 Эмпирическая температуропроводность грунтов в районах рассмотренных метеостанций изменяется в диапазоне 0,229÷0,760 мм2/с.
• 4 Глубина нулевых колебаний температуры грунта в районах рассмотренных метеостанций, оцененная по найденным коэффициентам температуропроводности, изменяется в диапазоне 8÷14 м.

Литература.

• 1. П.И. Тугунов. Нестационарные режимы перекачки нефтей и нефтепродуктов. М. «Недра», 1984.
• 2. А.Н. Тихонов и А.А. Самарский. Уравнения математической физики. М.1953